揺れる想いは万華鏡

Swaying heart is Kaleidoscope.

大学のイントロダクションでの話

smjです。先週の金曜日から大学が始まって、今週いっぱいは大体ガイダンスやらイントロやらでそこまで範囲を進むということはないのですが、そのイントロでちょっと心に残るようなイントロの話をされたのでブログの記事と気になった時に思い出す用も兼ねて文字に起こしてみました。

 

\sum^{\infty }_{k=1}\dfrac {1}{k}=+\infty

という式は極限について触れる機会が多い人間にとっては有名なことであるが、では

\sum^{\infty }_{k=1}\dfrac {1}{k^{2}}=?

この式についてはどうだろうか。この式の解が \dfrac {\pi}{6} であることは明らかであるが、この平方数の逆数の全ての和はいくつかという問題、所謂Basel問題は提起されたのち約90年にあたって解を導き出す者はいなかった。そして、1735年に解を導き出したのがあのEulerである。

また、現在進行形で150年近く解を提示していない問題、Riemann予想がある。

\zeta \left( s\right) = 1+\dfrac {1}{2^{s}}+\dfrac {1}{3^{s}}+\dfrac {1}{4^{s}};\ldots

ゼータ関数をこのように定義したとき、自明でない零点 s は全て Re\left( s\right) =\dfrac {1}{2} 上に存在するという予想である。

 

余談であるが、以下の二式を見てほしい。

2\times \dfrac {2}{\sqrt {2}}\times \dfrac {2}{\sqrt {2+\sqrt {2}}}\times \ldots =\pi

2\times \dfrac {2\times 2}{1\times 3}\times \dfrac {4\times 4}{3\times 5}\times \dfrac {6\times 6}{5\times 7}\times \ldots =\pi

上はVietaの公式(1593)、下はWallisの公式(1655)であるが双方極限を取った場合 \pi に収束する。このように極限は代数や幾何の分野と異なり、比較的美しく収束することが多い。

 

先ほど提示したRiemann予想も我々が生きている間かどうかはわからないが、必ずや美しい答が発表されることであろう。そこを目指して解析を学習していってほしい。