揺れる想いは万華鏡

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しりとりで強くなれる数学用語集

今日ゼミの同期と喋ってる中でルベーグ測度を勉強する中で「ル」から始まる言葉が多いのでしりとりに強くなれるのではないか?という発見をしてしまったので後世のためにまとめておきたいと思います。用語の解説はめんどくさいのでwikipedia貼っときます。

 

ルベーグ測度

数学におけるルベーグ測度ルベーグそくど、Lebesgue measure)は、ユークリッド空間上の長さ、面積、体積の概念を拡張したものである。名称はフランスの数学者アンリ・ルベーグにちなむ。体積には「互いに素な集合の体積は元の体積の和に等しい」という性質(加法性)がある。この性質を保ちながらより複雑な集合に対しても「体積」を定めることができるよう体積の概念を拡張できる。このような拡張は一意である。実解析、特にルベーグ積分で用いられる。体積と同様ルベーグ測度は値として  をとりうる。解析学で普通に考えられるような集合に対してはルベーグ測度が与えられるものと考えてよいが、選択公理によって Rn の部分集合でルベーグ測度を与えることができない(無理に与えると加法性が成り立たない)ものが存在することを証明できる。ルベーグ測度が与えられる集合はルベーグ可測であるという。以下の説明ではルベーグ可測な集合 A の測度を λ(A) で表す。

・ルージンの定理

ルベーグ・スティルチェス測度

数学測度論解析学周辺分野におけるルベーグ=スティルチェス積分ルベーグスティルチェスせきぶん、Lebesgue–Stieltjes integration)はリーマン=スティルチェス積分および(狭義の、つまりルベーグ測度に関する)ルベーグ積分の一般化で、前者に対してはより一般の測度論の枠組みによる優位性を保つものになっている。ルベーグ=スティルチェス積分は、ルベーグ=スティルチェス測度と呼ばれる実数直線上の有界変動函数から得られる測度に関する通常のルベーグ積分である。ルベーグ=スティルチェス測度は正則ボレル測度であり、逆に実数直線上の任意の正則ボレル測度はルベーグ=スティルチェス測度になる。

ルベーグ可測関数

数学の、特に測度論の分野における可測関数(かそくかんすう、measurable function)とは、(積分論を展開する文脈として自然なものである)可測空間の間の、構造を保つ写像である。具体的に言えば、可測空間の間の関数が可測であるとは、各可測集合に対するその原像可測であることを言う(これは位相空間の間の連続関数の定義の仕方と似ている)。

この定義は単純なようにも見えるが、σ-代数も併せて考えているということに特別な注意が払われなければならない。特に、関数 fR → R がルベーグ可測であるといったとき、これは実際には  が可測関数であることを意味する。すなわち、その定義域と値域は、同じ台集合上で異なる σ-代数を持つものを表している(ここで  はルベーグ可測集合全体の成す σ-代数であり、 は R 上のボレル集合族である)。結果として、ルベーグ可測関数の合成は必ずしもルベーグ可測とはならない。

慣例では、特に断りの無い限り、位相空間にはその開部分集合全体により生成されるボレル代数が与えられるものと仮定される。最もよくある場合だと、この空間として実数全体あるいは複素数全体からなる空間をとる。例えば、実数値可測関数とは、各ボレル集合の原像が可測となるような関数を言う。複素数値可測関数も同様に定義される。実用においては、ボレル集合族に関する実数値可測関数のみを指して可測関数という語を使用するものもある[1]。関数の値が R や C の代わりに無限次元ベクトル空間に取られるのであれば、弱可測性ボホナー可測性などの、可測性に関する他の定義が用いられることが普通である。

確率論の分野において、σ-代数はしばしば、利用可能な情報すべてからなる集合を表し、ある関数(この文脈では確率変数)が可測であるとは、それが利用可能な情報に基づいて知ることの出来る結果(outcome)を表すことを意味する。対照的に、少なくとも解析学の分野においては、ルベーグ可測でない関数は一般に病的であると見なされる。

・ルンドベリの不等式

 

少なすぎ、はーつっかえ・・・ やめたらその学部?